moon-key 님의 블로그

Abstract컴퓨터 비전에서 Multiple View Geometry의 핵심은 두 이미지 평면 사이의 대응 관계를 기하학적으로 구속하는 에피폴라 기하학을 이해하는 것이다. 본고에서는 사영 기하학적 관점에서 3차원 점이 두 뷰로 투영될 때 발생하는 Coplanarity 제약 조건을 기초 행렬 $F$와 필수 행렬 $E$로 대수화하는 과정을 엄밀히 유도한다. 특히, 행렬의 Rank Constraint과 Singular Values의 기하학적 의미를 분석하고, 이를 바탕으로 한 8점 알고리즘의 수치적 안정성을 논한다. 나아가, 교정되지 않은 카메라로부터 3차원 구조를 복원할 때 발생하는 Projective Ambiguity를 규명하고, 이를 무한대 평면과 절대 이차 곡선을 이용하여 유클리드 공간으로 격상시키는..

Abstract컴퓨터 비전의 근본적인 난제는 3차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^3$에서 2차원 사영 평면 $\mathbb{P}^2$로의 차원 축소 과정에서 손실된 깊이 정보를 복원하는 것이다. 특히, 단 한 장의 이미지만으로 3차원 구조를 추론해야 하는 'Single View Metrology'는 정보의 부족으로 인해 강력한 기하학적 제약 조건의 활용이 필수적이다. 본고에서는 사영 기하학의 불변량인 교차비와 소실점, 소실선을 활용하여, 카메라 파라미터가 미지수인 상태에서도 평면상의 거리와 각도, 나아가 3차원 물체의 높이 비를 복원하는 대수적 방법론을 제시한다. 또한, 카메라 중심의 이동 유무에 따른 이미지 변환의 특성을 호모그래피 군론의 관점에서 분석한다.1. 사영 기하학적 변환의 대수적 구조..

Abstract현대 컴퓨터 비전은 유클리드 공간의 기하학적 구조를 복원하는 고전적 방법론과, 데이터의 내재적 패턴을 학습하는 딥러닝 방법론의 융합으로 발전하고 있다. 본고에서는 3차원 데이터를 다루기 위한 명시적·암시적 표현의 위상수학적 차이를 분석하고, 특히 비정형 데이터인 포인트 클라우드 처리를 위한 순열 불변성(Permutation Invariance)의 수학적 해결책을 논한다. 나아가, 3차원 공간을 2차원 평면으로 사영하는 핀홀 카메라 모델을 사영 공간(Projective Space) $\mathbb{P}^3 \to \mathbb{P}^2$의 선형 변환으로 정의하며, Zhang의 캘리브레이션 기법을 절대 이차 곡선(Absolute Conic)의 이미지 투영 관점에서 재해석한다.1. 3차원 표면의..

Abstract본 분석글은 싱가포르 국립대(NUS)의 3D Computer Vision Lecture 4를 바탕으로, 평면 사영 변환(Homography)의 수학적 추정 방법론을 심층 분석한다. 사영 기하학의 기본 정리에 입각하여 호모그래피의 자유도와 제약 조건을 고찰하고, 선형 시스템 해법인 DLT(Direct Linear Transformation)의 수치적 불안정성 문제를 SVD(Singular Value Decomposition)와 데이터 정규화 관점에서 규명한다. 또한, 비선형 최적화를 위한 다양한 손실 함수의 기하학적 성질을 비교 분석하며, 특히 Sampson Error가 갖는 1차 근사(First-order approximation)의 효용성을 논한다. 마지막으로, 아웃라이어가 존재하는 실제..

지난 포스팅에서 우리는 유클리드 공간의 제약이 무너지는 과정(Projective Transformation)을 다루며, 평행성조차 보존되지 않는 사영 공간의 자유로움을 맛보았습니다. 하지만 공학적 관점에서 3D 비전의 궁극적인 목표는 다시 '유클리드 공간으로의 회귀(Metric Reconstruction)'입니다. 찌그러진 이미지에서 다시 직각을 찾고, 거리 비율을 알아내야 로봇을 제어하고 AR을 구현할 수 있기 때문입니다.이번 Lecture 3에서는 사영 공간 속에 숨겨진 '유클리드 공간의 지문(Fingerprint)'을 찾아내는 과정을 다룹니다. 우리는 존재하지 않는 허수의 점(Circular Points)과 절대 이차 곡선(Absolute Conic)을 통해, 카메라 내부 파라미터($K$)를 수학적..

ICP_DCP.pdf drive.google.com오늘은 3D 비전 분야에서 가장 기본이 되면서도 중요한 Point Cloud Registration(점군 정합)에 대해 이야기해보려 합니다. 특히 고전적인 방법론인 ICP(Iterative Closest Point)와 이를 딥러닝으로 발전시킨 DCP(Deep Closest Point)의 목적과 원리를 수식과 함께 살펴보겠습니다.첨부된 ICP_DCP.pdf 자료를 기반으로 내용을 정리했으니, PDF를 함께 참고하시면 이해가 더 빠르실 겁니다.1. ICP와 DCP의 공통 목적: "완벽한 겹침을 향하여"우선 ICP와 DCP가 달성하고자 하는 궁극적인 목표는 동일합니다.우리는 점군(Point Cloud)을 기준으로 하고, 물체가 형태가 변하지 않는 강체(Rigi..

지난 포스팅에서 $SE(3)$와 동차 좌표계를 통해 강체(Rigid Body)의 움직임을 기술했다면, 이번 파트(Part 2)의 핵심은 "제약 조건의 붕괴"입니다. 유클리드 공간의 엄격한 규칙들이 하나씩 무너지며 사영 공간(Projective Space)으로 확장되는 과정, 그리고 그 끝에서 마주하는 카메라 투영 모델(Camera Projection Model)을 선형대수학적 관점에서 해석해 봅니다.단순히 공식을 외우는 것이 아니라, 변환 행렬의 자유도(DOF)와 불변량(Invariant)이 기하학적으로 어떤 의미를 갖는지 탐구합니다.1. 기하학의 계층 구조 (Hierarchy of Transformations)우리가 다루는 변환 행렬 $H$는 $4 \times 4$ 크기를 가지며, 제약 조건이 느슨해질..

오늘은 NUS(싱가포르 국립대)의 3D Computer Vision 강의 두 번째 시간인 Rigid Body Motion(강체 운동) 파트를 공부하며 정리한 내용을 공유합니다.지난 시간에 배웠던 사영 기하학(Projective Geometry)이 3D 세계를 표현하는 '공간'에 대한 이야기였다면, 이번에는 그 공간 안에서 물체가 어떻게 '움직이는가'를 다룹니다. 특히 "왜 일반적인 아핀 변환을 그대로 쓰면 안 되는가?"에 대한 의문을 풀면서, $SE(3)$와 동차 좌표계의 진짜 필요성을 파헤쳐 보았습니다.1. 기본 용어 잡고 가기 (Terminology)본격적인 수식 전개에 앞서, 논문이나 강의에서 쏟아지지만 명확한 정의를 놓치기 쉬운 용어들을 정리했습니다.Shear (전단):직사각형을 평행사변형으로 만..

지난 포스팅에서는 사영 공간($\mathbb{P}^2$)의 기본인 점과 선, 그리고 동차 좌표계의 원리에 대해 다뤘습니다. 오늘은 NUS의 3D Computer Vision 강의의 백미인 Lecture 1 (Part 2) 내용을 바탕으로, 단순한 직선을 넘어 2차 곡선(Conic)과 변환(Transformation), 그리고 사영 기하학의 꽃이라 불리는 비조화비(Cross Ratio)까지 파헤쳐 보겠습니다.단순히 "공식이 이렇다"가 아니라, "왜 이런 수식이 나올 수밖에 없는가?"에 대한 수학적 필연성과 기하학적 직관(Intuition)을 연결하는 데 초점을 맞췄습니다.1. 2차 곡선의 대수적 우아함 (Conics in $\mathbb{P}^2$)유클리드 기하학에서 타원, 쌍곡선, 포물선은 서로 다른 방..

오늘은 NUS(싱가포르 국립대)의 3D Computer Vision 강의 첫 번째 시간인 Projective Geometry(사영 기하학) 파트를 공부하며 정리한 내용을 공유합니다.우리가 흔히 아는 유클리드 기하학($\mathbb{R}^2$)에서 벗어나, 컴퓨터 비전의 언어인 사영 공간($\mathbb{P}^2$)으로 넘어가는 과정에서 마주치는 핵심 개념들과 수식의 '진짜 의미'를 파헤쳐 보았습니다.1. 기본 용어 잡고 가기 (Terminology)본격적인 수식에 앞서, 논문이나 강의에서 자주 등장하지만 헷갈리기 쉬운 용어들을 정리했습니다.Pictorial (픽토리얼):단순히 '화보'라는 뜻이 아닙니다. 3D 비전에서는 '2D 이미지 자체의 시각적 단서(Cues)'를 의미합니다.예: Pictorial D..